ACF y PACF
La ACF mide la correlación entre \(y_t\) e \(y_{t-k}\) en cada retardo \(k\). La PACF mide esa misma correlación una vez eliminado el efecto de todos los retardos intermedios. Juntas son las herramientas diagnósticas principales para identificar los órdenes AR y MA antes de ajustar un modelo.
Función de autocorrelación (ACF)
La autocorrelación en el retardo \(k\) es la correlación entre \(y_t\) e \(y_{t-k}\):
\[\rho_k = \frac{\text{Cov}(y_t, y_{t-k})}{\text{Var}(y_t)} = \frac{\gamma_k}{\gamma_0}\]
donde \(\gamma_k = \text{Cov}(y_t, y_{t-k})\) es la autocovarianza en el retardo \(k\) y \(\gamma_0 = \text{Var}(y_t)\). Por definición, \(\rho_0 = 1\).
La ACF muestral estima \(\rho_k\) a partir de los datos:
\[\hat{\rho}_k = \frac{\sum_{t=k+1}^T (y_t - \bar{y})(y_{t-k} - \bar{y})}{\sum_{t=1}^T (y_t - \bar{y})^2}\]
Bajo la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación, \(\hat{\rho}_k \approx N(0, 1/T)\) para \(T\) grande. Las bandas de confianza al 95% en los gráficos de ACF son \(\pm 1{,}96/\sqrt{T}\): los picos que superan estas bandas indican autocorrelación significativa.
Función de autocorrelación parcial (PACF)
La autocorrelación parcial en el retardo \(k\) es la correlación entre \(y_t\) e \(y_{t-k}\) tras eliminar los efectos lineales de \(y_{t-1}, y_{t-2}, \ldots, y_{t-k+1}\):
\[\phi_{kk} = \text{Corr}(y_t - \hat{y}_t,\; y_{t-k} - \hat{y}_{t-k})\]
donde \(\hat{y}_t\) es la proyección de \(y_t\) sobre \(\{y_{t-1}, \ldots, y_{t-k+1}\}\). Responde a la pregunta: “¿existe una relación directa entre \(y_t\) e \(y_{t-k}\), más allá de lo que explican los valores intermedios?”
La PACF se estima ajustando sucesivos modelos AR y registrando el último coeficiente:
\[\phi_{kk} = \text{coeficiente de } y_{t-k} \text{ en el ajuste AR}(k)\]
Patrones de ACF y PACF para identificar modelos
La ACF y la PACF teóricas de los procesos AR y MA tienen patrones característicos que guían la selección del modelo:
| Proceso | ACF | PACF |
|---|---|---|
| AR(\(p\)) | Decrece geométricamente (se atenúa) | Se corta tras el retardo \(p\) |
| MA(\(q\)) | Se corta tras el retardo \(q\) | Decrece geométricamente (se atenúa) |
| ARMA(\(p,q\)) | Se atenúa tras el retardo \(q-p\) | Se atenúa tras el retardo \(p-q\) |
| Ruido blanco | Sin picos significativos | Sin picos significativos |
| Paseo aleatorio | Decaimiento lento, todos elevados | Solo el primer pico es significativo |
“Se corta” significa que la función cae bruscamente a cero a partir de un cierto retardo. “Se atenúa” significa que decrece gradualmente (de forma geométrica u oscilatoria).
Los patrones son claros: el AR(2) tiene la PACF que se corta en el retardo 2; el MA(1) tiene la ACF que se corta en el retardo 1; el ARMA(1,1) muestra tanto la ACF como la PACF atenuándose gradualmente.
Uso de la ACF y la PACF para identificar el orden del modelo
El procedimiento habitual:
- Asegurarse de que la serie es estacionaria (diferenciar si es necesario).
- Representar la ACF y la PACF.
- Aplicar las reglas de identificación de la tabla anterior.
- Ajustar modelos candidatos y comparar por AIC y BIC.
Una serie muestra:
- ACF: picos en los retardos 1, 2, 3 con decaimiento exponencial (alternando signos si \(\phi < 0\), mismo signo si \(\phi > 0\)).
- PACF: un único pico en el retardo 1, nada significativo después.
Este patrón es compatible con AR(1). Ajusta arima(y, order = c(1,0,0)) y comprueba los residuos.
Una serie muestra:
- ACF: picos significativos en los retardos 1 y 2, luego nada.
- PACF: decaimiento gradual con patrón alternante.
Este patrón es compatible con MA(2). Ajusta arima(y, order = c(0,0,2)) y comprueba los residuos.
Ejemplo con datos reales: pasajeros aéreos
Tras diferenciar estacional y regularmente, la ACF muestra picos significativos en los retardos 1 y 12 (estacional), lo que sugiere componentes MA(1) y SMA(1). La PACF tiene un pico en el retardo 12, compatible con SAR(1). Esto llevó al modelo clásico SARIMA(0,1,1)(0,1,1)[12] para los datos de pasajeros aéreos.
⚠️ Los patrones de ACF y PACF son orientativos, no reglas definitivas
Los datos reales raramente muestran patrones de libro de texto perfectos. La ACF y la PACF sugieren modelos candidatos, no respuestas definitivas. Siempre:
- Ajusta varios modelos candidatos.
- Compara por AIC y BIC.
- Comprueba que los residuos son ruido blanco (ACF de residuos, test de Ljung-Box).
- Prefiere modelos más simples cuando las diferencias en AIC y BIC son pequeñas.
La combinación de la inspección ACF/PACF con los criterios de información es más fiable que cualquiera de los dos enfoques por separado.
💡 ACF y PACF en R
# Representar la ACF y la PACF
acf(y, lag.max = 30)
pacf(y, lag.max = 30)
# Valores numéricos
acf_vals <- acf(y, lag.max = 30, plot = FALSE)$acf
pacf_vals <- pacf(y, lag.max = 30, plot = FALSE)$acf
# Amplitud de las bandas de confianza
ci <- qnorm(0.975) / sqrt(length(y))
# Gráfico combinado con el paquete forecast
library(forecast)
tsdisplay(y) # muestra la serie + ACF + PACF en una sola figura
