Intervalo de confianza para la varianza de una distribución normal
El intervalo de confianza para la varianza poblacional usa la distribución chi-cuadrado, no la normal ni la \(t\). Como la distribución chi-cuadrado está sesgada a la derecha, el intervalo es asimétrico: el límite superior siempre está más lejos de \(S^2\) que el límite inferior.
Fórmula
Si la población es normal y se observa una muestra de tamaño \(n\) con varianza muestral \(S^2\), entonces:
\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)\]
Invertir este pivote da un intervalo de confianza al \((1-\alpha)\) para \(\sigma^2\):
\[\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2,\; n-1}},\;\; \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2,\; n-1}}\right)\]
Obsérvese el orden de los valores críticos: el valor chi-cuadrado mayor (\(\chi^2_{1-\alpha/2}\)) va en el denominador del límite inferior, y el menor (\(\chi^2_{\alpha/2}\)) va en el denominador del límite superior.
Para un intervalo de confianza de la desviación típica \(\sigma\), toma la raíz cuadrada de ambos extremos.
⚠️ El IC para la varianza no es simétrico respecto a S²
El IC para la media es simétrico: de \(\bar{x} - \text{ME}\) a \(\bar{x} + \text{ME}\). El IC para la varianza no: el límite superior se extiende más por encima de \(S^2\) de lo que el límite inferior se extiende por debajo.
Esta asimetría proviene directamente del sesgo a la derecha de la distribución chi-cuadrado. Para \(n\) pequeño, la asimetría es notable. Por ejemplo, con \(n = 10\) y \(S^2 = 25\):
- Límite inferior: \((9 \times 25)/19{,}02 \approx 11{,}8\), que está \(13{,}2\) por debajo de \(S^2\).
- Límite superior: \((9 \times 25)/2{,}70 \approx 83{,}3\), que está \(58{,}3\) por encima de \(S^2\).
El límite superior está más de cuatro veces más lejos de \(S^2\) que el límite inferior.
Distribución chi-cuadrado y valores críticos
Ejemplos paso a paso
Ejemplo 1: precisión de un instrumento de medida
Un laboratorio de calibración realiza 20 medidas con un manómetro bajo condiciones idénticas. La varianza muestral de las lecturas es \(S^2 = 4{,}2\) bar². Construye un IC al 95% para la varianza poblacional.
Paso 1: identifica los ingredientes.
\[n = 20, \quad S^2 = 4{,}2, \quad gl = 19, \quad \alpha = 0{,}05\]
Paso 2: encuentra los valores críticos de la tabla chi-cuadrado.
\[\chi^2_{0{,}975,\; 19} = 32{,}85, \qquad \chi^2_{0{,}025,\; 19} = 8{,}91\]
Paso 3: calcula los límites.
\[\text{L. inferior} = \frac{19 \times 4{,}2}{32{,}85} = \frac{79{,}8}{32{,}85} \approx 2{,}43 \text{ bar}^2\]
\[\text{L. superior} = \frac{19 \times 4{,}2}{8{,}91} = \frac{79{,}8}{8{,}91} \approx 8{,}96 \text{ bar}^2\]
\[\text{IC al 95\% para } \sigma^2: (2{,}43;\; 8{,}96) \text{ bar}^2\]
Para la desviación típica: \((\sqrt{2{,}43};\; \sqrt{8{,}96}) = (1{,}56;\; 2{,}99)\) bar.
Ejemplo 2: consistencia del peso en envasado
Un fabricante de alimentación muestrea 15 envases. Los pesos (en gramos) dan \(S^2 = 6{,}8\) g². Construye un IC al 99% para \(\sigma^2\).
\[gl = 14, \quad \chi^2_{0{,}995,\; 14} = 31{,}32, \quad \chi^2_{0{,}005,\; 14} = 4{,}07\]
\[\text{L. inferior} = \frac{14 \times 6{,}8}{31{,}32} \approx 3{,}04 \text{ g}^2, \qquad \text{L. superior} = \frac{14 \times 6{,}8}{4{,}07} \approx 23{,}39 \text{ g}^2\]
\[\text{IC al 99\% para } \sigma^2: (3{,}04;\; 23{,}39) \text{ g}^2\]
El intervalo amplio refleja tanto el pequeño tamaño muestral (\(n=15\)) como el alto nivel de confianza (99%).
El límite superior (naranja) siempre está más lejos de \(S^2\) que el límite inferior (azul), y la asimetría es más pronunciada en muestras pequeñas.
⚠️ El supuesto de normalidad es fundamental aquí
A diferencia del IC para la media (que es robusto frente a la no normalidad gracias al TCL), el IC para la varianza basado en la distribución chi-cuadrado es sensible a las desviaciones de la normalidad. Para poblaciones no normales, este intervalo puede ser sustancialmente incorrecto incluso para muestras grandes.
Si la normalidad es dudosa, considera:
- Contrastar la normalidad antes de aplicar la fórmula.
- Usar un IC bootstrap para la varianza, que no asume normalidad.
- Informar \(S^2\) con un intervalo de confianza bootstrap cuando los datos estén claramente sesgados.
💡 Conexión con los contrastes de hipótesis
Un IC al \((1-\alpha)\) para \(\sigma^2\) está directamente relacionado con el contraste chi-cuadrado para la varianza. Si el valor hipotético \(\sigma^2_0\) cae fuera del IC, el contraste \(H_0: \sigma^2 = \sigma^2_0\) se rechaza al nivel \(\alpha\). Si cae dentro, \(H_0\) no se rechaza.
Esta dualidad significa que el IC contiene toda la información del contraste de hipótesis, y además muestra en qué medida el valor hipotético es plausible o implausible.
