Experimentos aleatorios y eventos
Todo cálculo de probabilidad parte de un experimento aleatorio claramente definido y un espacio muestral bien especificado. Definirlos correctamente es la base de todo lo demás en la teoría de la probabilidad.
Experimento aleatorio
Un experimento aleatorio es un proceso que produce un resultado que no puede predecirse con certeza, pero cuyo conjunto de resultados posibles se conoce de antemano. Lo definen tres condiciones:
- El experimento puede repetirse bajo las mismas condiciones.
- Todos los resultados posibles se conocen antes de realizarlo.
- El resultado real de cualquier ensayo individual es impredecible.
- Un inspector de calidad selecciona una unidad de un lote de producción y la clasifica como defectuosa o no defectuosa. El resultado es incierto, pero los dos resultados posibles se conocen.
- Un ensayo clínico inscribe a un paciente y registra si responde al tratamiento. Respuesta o no respuesta son los dos resultados posibles.
- Un meteorólogo registra la temperatura máxima diaria. El valor exacto es desconocido de antemano, pero pertenece a un rango bien definido.
- Un ingeniero de redes monitoriza si un servidor está activo o inactivo en un momento dado.
⚠️ No todos los procesos inciertos son experimentos aleatorios
Un experimento aleatorio requiere que el conjunto de resultados posibles esté bien definido de antemano. “¿Qué hará la bolsa el año que viene?” es incierto, pero si el conjunto de resultados no está claramente especificado (¿qué cuenta como “subir”?, ¿cuánto?), no califica como experimento aleatorio en el sentido probabilístico. Los experimentos vagos producen probabilidades vagas.
Espacio muestral
El espacio muestral \(\Omega\) (a veces escrito \(S\)) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Definirlo correctamente es el primer paso, y el más importante, en cualquier problema de probabilidad.
Los espacios muestrales pueden ser:
- Finitos: un conjunto contable de resultados distintos. \(\Omega = \{0, 1\}\) para un ensayo binario.
- Infinitos numerables: los resultados son contables pero ilimitados. \(\Omega = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}\) para el número de clientes que llegan en un día.
- Continuos: los resultados forman un intervalo. \(\Omega = [0, \infty)\) para un tiempo de espera en minutos.
Ensayo clínico: se administra un fármaco a un paciente y se registra el número de días hasta la recuperación.
\[\Omega = \{1, 2, 3, \ldots\} \cup \{\text{sin recuperación}\}\]
Control de calidad: se inspeccionan 5 artículos de un lote y se cuenta el número de defectuosos.
\[\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\]
Tiempo de respuesta del servidor: el tiempo en milisegundos hasta que un servidor responde a una petición.
\[\Omega = (0, \infty)\]
Respuesta a encuesta: un encuestado valora su satisfacción en una escala de 5 puntos.
\[\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5\}\]
💡 Define el espacio muestral antes de calcular cualquier probabilidad
Muchos errores en probabilidad provienen de un espacio muestral mal definido. Antes de escribir una sola probabilidad, pregúntate: ¿cuáles son todos los resultados posibles? ¿Son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir dos a la vez)? ¿Son exhaustivos (cubren todas las posibilidades)? Un buen espacio muestral es a la vez mutuamente excluyente y exhaustivo.
Eventos
Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral. Un evento ocurre si el resultado del experimento pertenece a ese subconjunto.
- Un evento simple (o evento elemental) contiene exactamente un resultado.
- Un evento compuesto contiene dos o más resultados.
Experimento de control de calidad: \(\Omega = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}\) defectuosos en un lote de 5.
- Evento simple: exactamente 2 defectuosos. \(A = \{2\}\).
- Evento compuesto: menos de 3 defectuosos. \(B = \{0, 1, 2\}\).
- Evento compuesto: al menos 1 defectuoso. \(C = \{1, 2, 3, 4, 5\}\).
La probabilidad del evento \(B\) usando probabilidad clásica (si todos los recuentos fuesen igualmente probables):
\[P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = 0{,}5\]
En la práctica, los recuentos no son igualmente probables (siguen una distribución binomial), pero la estructura de eventos es la misma.
Tipos de eventos
Eventos cierto e imposible
- El evento cierto es \(\Omega\): siempre ocurre porque el resultado siempre pertenece al espacio muestral. \(P(\Omega) = 1\).
- El evento imposible es \(\emptyset\): nunca ocurre. \(P(\emptyset) = 0\).
⚠️ P(A) = 0 no significa que A sea imposible
En un espacio muestral continuo, cada resultado individual tiene probabilidad cero. Si \(X\) es el tiempo de respuesta exacto de un servidor en milisegundos, \(P(X = 142{,}37) = 0\) aunque 142,37 ms sea un tiempo de respuesta perfectamente posible. El evento \(\{142{,}37\}\) no es imposible, simplemente tiene probabilidad cero porque en los espacios continuos las probabilidades se definen sobre intervalos, no sobre puntos.
Esta es una diferencia fundamental entre la probabilidad discreta y la continua.
Eventos mutuamente excluyentes
Dos eventos \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes (o disjuntos) si no pueden ocurrir ambos en el mismo ensayo: \(A \cap B = \emptyset\).
Un paciente se clasifica en: sin respuesta, respuesta parcial o respuesta completa. Estos tres eventos son mutuamente excluyentes: un paciente no puede estar en dos categorías simultáneamente.
\[P(\text{sin respuesta} \cup \text{respuesta parcial}) = P(\text{sin respuesta}) + P(\text{respuesta parcial})\]
La adición se simplifica porque no hay solapamiento.
Eventos independientes
Dos eventos \(A\) y \(B\) son independientes si la ocurrencia de uno no afecta a la probabilidad del otro:
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Una fábrica tiene dos máquinas en líneas separadas. La máquina A produce un artículo defectuoso con probabilidad 0,02. La máquina B produce un artículo defectuoso con probabilidad 0,03. Que la máquina A produzca un defecto no afecta a la máquina B.
\[P(\text{ambas defectuosas}) = 0{,}02 \times 0{,}03 = 0{,}0006\]
\[P(\text{al menos una defectuosa}) = 1 - P(\text{ninguna}) = 1 - 0{,}98 \times 0{,}97 = 1 - 0{,}9506 = 0{,}0494\]
Eventos complementarios
El complementario del evento \(A\), escrito \(\bar{A}\) o \(A^c\), es el evento de que \(A\) no ocurra. Está formado por todos los resultados de \(\Omega\) que no están en \(A\):
\[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]
Eventos exhaustivos
Un conjunto de eventos es exhaustivo si su unión cubre todo el espacio muestral: al menos uno de ellos debe ocurrir en cada ensayo.
Una encuesta de clientes clasifica a los encuestados como: Detractor, Pasivo o Promotor (categorías NPS). Estas tres categorías son:
- Mutuamente excluyentes: cada encuestado pertenece exactamente a una categoría.
- Exhaustivas: todo encuestado cae en una de las tres.
En conjunto forman una partición del espacio muestral. Las probabilidades deben sumar 1:
\[P(\text{Detractor}) + P(\text{Pasivo}) + P(\text{Promotor}) = 1\]
Probabilidad de eventos
Para un espacio muestral finito con resultados igualmente probables:
\[P(E) = \frac{|E|}{|\Omega|}\]
donde \(|E|\) es el número de resultados en \(E\) y \(|\Omega|\) es el número total de resultados.
Para resultados no igualmente probables, la probabilidad de un evento compuesto es la suma de las probabilidades de sus eventos elementales:
\[P(E) = \sum_{\omega \in E} P(\{\omega\})\]
Un filtro de spam clasifica los correos entrantes. Según datos históricos:
| Resultado | Probabilidad |
|---|---|
| Spam, identificado correctamente | 0,25 |
| Spam, no detectado (falso negativo) | 0,05 |
| Legítimo, identificado correctamente | 0,65 |
| Legítimo, bloqueado (falso positivo) | 0,05 |
Evento \(A\) = “el correo es spam”: \(A = \{\text{spam identificado correctamente},\, \text{spam no detectado}\}\)
\[P(A) = 0{,}25 + 0{,}05 = 0{,}30\]
Evento \(B\) = “el filtro comete un error”: \(B = \{\text{spam no detectado},\, \text{falso positivo}\}\)
\[P(B) = 0{,}05 + 0{,}05 = 0{,}10\]
