Distribución uniforme discreta
La distribución uniforme discreta asigna igual probabilidad a cada resultado de un conjunto finito. Es la distribución discreta más sencilla y el fundamento matemático de cualquier proceso en el que todos los resultados son igualmente probables.
Definición
Una variable aleatoria \(X\) sigue una distribución uniforme discreta sobre un conjunto de \(n\) valores \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) si todos los valores tienen la misma probabilidad:
\[P(X = x_i) = \frac{1}{n}, \quad i = 1, 2, \ldots, n\]
La parametrización más habitual usa valores enteros de \(a\) a \(b\), dando \(n = b - a + 1\) resultados igualmente probables. Se escribe \(X \sim \text{Uniforme}(a, b)\).
Función de masa de probabilidad y CDF
La PMF es constante en todos los valores posibles:
\[P(X = x) = \frac{1}{n} \quad \text{para } x \in \{a, a+1, \ldots, b\}\]
La función de distribución acumulada da la probabilidad de estar en o por debajo de un valor dado:
\[F(x) = \frac{\lfloor x \rfloor - a + 1}{n} \quad \text{para } a \leq x \leq b\]
donde \(\lfloor x \rfloor\) es la función suelo. \(F(x) = 0\) para \(x < a\) y \(F(x) = 1\) para \(x > b\).
Propiedades
Para \(X \sim \text{Uniforme}(a, b)\) con \(n = b - a + 1\):
- Valor esperado (media)
\[E(X) = \frac{a + b}{2}\]
- Varianza
\[\text{Var}(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{(b-a+1)^2 - 1}{12}\]
- Asimetría
Siempre 0: la distribución es perfectamente simétrica alrededor de su media.
- Curtosis
\[g_2 = -\frac{6(n^2+1)}{5(n^2-1)}\]
Para \(n\) grande, la curtosis se aproxima a \(-1{,}2\): la distribución es más plana que la normal (platicúrtica).
- Función cuantil
\[Q(p) = a + \lfloor p \cdot n \rfloor\]
Ejemplo: lanzar un dado
Un dado estándar de seis caras da \(X \sim \text{Uniforme}(1, 6)\), con \(n = 6\).
- PMF: \(P(X = k) = 1/6 \approx 0{,}167\) para \(k = 1, 2, \ldots, 6\).
- Media: \(E(X) = (1+6)/2 = 3{,}5\). A largo plazo, el resultado medio es 3,5.
- Varianza: \(\text{Var}(X) = (36-1)/12 = 35/12 \approx 2{,}92\).
- CDF: \(F(4) = 4/6 \approx 0{,}667\). Hay un 66,7% de probabilidad de obtener 4 o menos.
- Cuantil: \(Q(0{,}5) = 1 + \lfloor 0{,}5 \times 6 \rfloor = 4\) (la mediana es 4).
- Generador de números aleatorios: generar un entero aleatorio del 1 al 100 uniformemente. Cada entero tiene probabilidad 1/100.
- Aleatorización en ensayos clínicos: asignar pacientes aleatoriamente al tratamiento A o B. Cada paciente tiene probabilidad 1/2 de cada asignación.
- Muestreo aleatorio: extraer un identificador de empleado de una lista de 500. Cada identificador tiene probabilidad 1/500.
- Lotería: elegir el número ganador del 1 al 49 uniformemente antes de realizar ningún sorteo.
⚠️ Uniforme discreta vs uniforme continua
No confundas estas dos distribuciones. La uniforme discreta asigna probabilidad (1/n) a cada uno de (n) valores concretos. La uniforme continua asigna probabilidad cero a cualquier punto individual y solo tiene sentido sobre intervalos. Un entero aleatorio del 1 al 6 es uniforme discreta. El tiempo de llegada de un autobús que solo se sabe que llegará en una ventana de 10 minutos es uniforme continua. Las fórmulas de media, varianza y CDF son distintas en cada caso.
Muestreo con y sin reemplazamiento
Las extracciones consecutivas de una distribución uniforme discreta son independientes si el muestreo se hace con reemplazamiento. Si lanzas un dado dos veces, el segundo lanzamiento no se ve afectado en absoluto por el primero.
Si el muestreo es sin reemplazamiento (extraer cartas de una baraja sin devolverlas), los resultados ya no son uniformes sobre el mismo conjunto después de cada extracción, y un modelo hipergeométrico es más apropiado.
💡 Cuándo usar la distribución uniforme discreta
